Teorema Ceva dan Menelaus

Pada kesempatan kali ini kita akan membahas salah satu teorama dalam geometri yaitu teorema Ceva dan Menelaus. Sebelum membahas tentang teorema Ceva dan Menelaus ada beberapa lemma yang harus kita ketahui dahulu:

Lemma 1. Pada segitiga $ABC$, titik $D$ pada $AB$ maka
$$\frac{[ABD]}{[ACD]}=\frac{BD}{CD}$$
dimana $[ABC]$ menyatakan luas segitiga $ABC$.

Bukti. Misalkan $t$ adalah tinggi dari segitiga $ABC$ yang ditarik dari titik $A$, segitiga $ABD$ dan $ACD$ juga memiliki tinggi yang sama yaitu $t$. Maka berlaku
$$\begin{align*} \frac{[ABD]}{[ACD]}&=\frac{\frac{1}{2}\cdot BD \cdot t}{\frac{1}{2}\cdot CD\cdot t}\\ &=\frac{BD}{CD} \end{align*}$$

Ceva. Pada segitiga $ABC$, titik $D,E,$ dan $F$ berturut-turut terletak pada $BC,CA,$ dan $AB$. Garis $AD,BE,$ dan $CF$ berpotongan pada satu titik $P$ jika dan hanya jika
$$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1$$

Bukti. Dengan menggunakan Lemma 1 kita bisa membuktikan Teorema Ceva. Kita punya
$$\frac{[ABD]}{[ACD]}=\frac{BD}{CD}\text{ dan }\frac{[PBD]}{[PCD]}=\frac{BD}{CD}$$
akibatnya
$$\frac{[ABP]}{[ACP]}=\frac{BD}{CD}$$
dengan cara yang sama
$$\frac{[APC]}{[BPC]}=\frac{AF}{BF}\\\frac{[BPC]}{[APB]}=\frac{CE}{AE}$$
sehingga didapat
$$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=\frac{[APC]}{[BPC]}\cdot\frac{[APB]}{[APC]}\cdot \frac{[BPC]}{[APB]}=1$$

Menelaus. Pada segitiga $ABC$, titik $D,E,$ dan $F$ berturut-turut terletak pada $BC,CA,$ dan $AB$. Titik $D,E,$ dan $F$ segaris jika dan hanya jika
$$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1$$