Latihan Soal Cauchy-Schwarz

• $a,b\in \mathbb{R}^{+}$ buktikan $8(a^4+b^4)\ge (a+b)^4$!
• $a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$ dan $abc=1$ buktikan $\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\ge \frac{3}{2}$!
• $a,b,c,m,n\in \mathbb{R}^{+}$ buktikan $\frac{x}{ay+bz}+\frac{y}{az+bx}+\frac{z}{ax+by}\ge \frac{3}{a+b}$!
• $a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$ buktikan $\frac{x}{x+2y+3z}+\frac{y}{y+2z+3x}+\frac{z}{z+2x+3y}\ge \frac{1}{2}$!
• $a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$ dan $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$ buktikan $\frac{a}{a^2-bc+1}+\frac{b}{b^2-ca+1}+\frac{c}{c^2-ab+1}\ge \frac{1}{a+b+c}$!
• $a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$ dan $abc=1$ buktikan $\sum_{cyc}\frac{a+b+1}{a+b^2+c^3}\le \frac{(a+1)(b+1)(c+1)+1}{a+b+c}$!
• $a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$ dan $ab+bc+ca\ge 3$ buktikan $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\ge \frac{3}{\sqrt{2}}$!
• $a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$ buktikan $\frac{a}{2a+b}+\frac{a}{2a+b}+\frac{a}{2a+b}\le 1$!
• $a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$ dan $a+b+c=1$ buktikan $\frac{a}{\sqrt{a+2b}}+\frac{b}{\sqrt{b+2c}}+\frac{c}{\sqrt{c+2a}}<\sqrt{\frac{3}{2}}$!
• $a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$ buktikan $\sqrt{\frac{2a}{b+c}}+\sqrt{\frac{2a}{b+c}}+\sqrt{\frac{2a}{b+c}}\le \sqrt{3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)}$

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