Ketaksamaan Cauchy-Schwarz

Pada kesempatan kali ini kita akan membahas tentak ketaksamaan Cauchy-Schwarz. Ketaksamaan ini juga tak kalah terkenal dengan ketaksamaan AM-GM. Ketaksamaan ini juga sering muncul pada soal-soal matematika.

Cauchy-Schwarz Inequality. Untuk sembarang bilangan real $a_1,a_2,\cdots,a_n$ dan $b_1,b_2,\cdots,b_n$ berlaku
$$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\ge(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2$$
ketaksamaan terjadi saat $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}$

Bukti. Pertama nyatakan $A=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2$ dan $B=b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2$ kemudian gunakan ketaksamaan AM-GM
$$\frac{a_1^2}{A}+\frac{b_1^2}{B}\ge \frac{2a_1b_1}{\sqrt{AB}}$$
gunakan cara yang sama untuk $a_2,a_3,\cdots,a_n$ kemudian jumlahkan semuanya
$$\sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{A}+\sum_{i=1}^n\frac{b_i^2}{B}\ge \sum_{i=1}^n \frac{2a_ib_i}{\sqrt{AB}}$$
$$ 2\ge \sum_{i=1}^n \frac{2a_ib_i}{\sqrt{AB}}$$
dengan kata lain
$$\sqrt{AB}\ge (a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)$$
$$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\ge(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2$$

Cauchy-Schwarz Engel form. Untuk sembarang bilangan real $a_1,a_2,\cdots,a_n$ dan $b_1,b_2,\cdots,b_n$ berlaku
$$\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\cdots+\frac{a_n^2}{b_n}\ge \frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2}{b_1+b_2+\cdots+b_n}$$

Bukti. Kita akan buktikan dengan Ketaksamaan yang sudah kita bahas di awal. Berbeda dengan yang awal kita akan mengganti nilai $a_i$ menjadi $\frac{a_i^2}{b_1}$
$$\left(b_1+b_2+\cdots+b_n\right)\left(\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\cdots+\frac{a_n^2}{b_n}\right)\ge \left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)^2$$
dengan memindahkan ruas kita mendapat
$$\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\cdots+\frac{a_n^2}{b_n}\ge \frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2}{b_1+b_2+\cdots+b_n}$$