Ketaksamaan AM-GM

Pada kesempatan kali ini kita akan membahas suatu ketaksamaan yang paling mendasar yaitu ketaksamaan AM-GM. Kata AM dan GM sendiri berarti Arithmetic Mean dan Geometric Mean. Rataan Aritmatika untuk dua bilangan diartikan sebagai $\frac{a+b}{2}$ sedangkan rataan geometrinya $\sqrt{ab}$.

AM-GM. Untuk sembarang bilangan real positif $a$ dan $b$ berlaku
$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$$

Bukti. Untuk sembarang bilangan real $x$ berlaku $x^2\ge 0$. Sekarang kita substitusikan $x=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ dimana $a$ dan $b$ bernilai positif.
$$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge 2\\a-2\sqrt{ab}+b\ge 0\\ \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$$

AM-GM (Generalisasi). Untuk sembarang bilangan real positif $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$ berlaku
$$\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1a_2a_3\cdots a_n}$$